Pola Bilangan, Induksi, dan Penjelasan Induksi Matematika
Bagian penting dari karya ahli matematika adalah persepsi pola dengan angka. Kadang-kadang, seorang ahli matematika menemukan beberapa kesamaan dan pemberitahuan urutan umum di dalamnya. Sebagai contoh, pertimbangkan identitas sederhana berikut: 4 ^ 1-1 = 3 * 1, 4 ^ 2-1 = 3 * 5, 4 ^ 3-1 = 3 * 21, 4 ^ 4-1 = 3 * 85, dll ... Setiap orang dapat melihat pola umum: kalikan diri Anda sebanyak yang Anda inginkan dan kurangi 1 dari itu. Anda selalu menerima kelipatan 3. Juga, 1 + 2 + 3 = 3 * 4/2, 1+ 2 + 3 + 4 = 4 * 5/2 dll. Anda juga dapat melihat pola induksi matematika di sini: tambahkan semua bilangan asli dari 1 ke nomor berapa pun. Hasilnya selalu sama dengan setengah dari produk pengganti. Matematikawan memiliki cara tertentu dalam menulis skema umum semacam itu. Yang pertama ditulis sebagai "4 * n-1 selalu dapat dibagi dengan 3" dan yang kedua sebagai 1 + 2 + 3 + ... + n = n (n + 1) / 2. Demikian juga, skema di Identity 1 + 3 + 5 = 3 ^ 2, 1 + 3 + 5 + 7 = 4 ^ 2, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 ^ 2 dll. Ditulis sebagai 1 + 3 + 5 + ... + O_n = n ^ 2, O_n di sini menunjukkan nomor ganjil lainnya. Matematikawan memahami model dengan angka dan menuliskannya seperti yang dijelaskan di atas. Anda telah menemukan berbagai model yang menarik dan hanya melihat varietas untuk mengisinya dengan kagum dan kagum. Mari kita lihat beberapa di antaranya.
Himpunan dengan 3 elemen memiliki 2 ^ 3 = 8 himpunan bagian yang mungkin, himpunan dengan 4 elemen memiliki 2 ^ 4 = 16 himpunan bagian, ..., himpunan dengan elemen n memiliki subbagian 2 ^ n. 2 ^ 3-2 = 6 * 1, 3 ^ 3-3 = 6 * 4, 4 ^ 3-4 = 6 * 10, ..., n ^ 3-n adalah kelipatan dari 6. Mari kita mengambil langkah perantara dan tulis ekspresi akhir dari model mulai sekarang. x ^ 3-7x + 3 adalah kelipatan 3. 7 ^ n-5 ^ n adalah kelipatan 2. a ^ n-b ^ n adalah kelipatan a-b, a dan b adalah bilangan alami yang berbeda. nC1 + nC2 + ... + nCn = 2n. Daftar ini praktis tidak ada habisnya.
Tidak boleh langsung disimpulkan bahwa model yang diyakininya sebenarnya diterapkan pada semua bilangan asli. Ambil contoh klasik dari ekspresi n ^ 2 + n + 41. Bertahun-tahun yang lalu, umumnya diasumsikan bahwa ungkapan ini selalu memberikan bilangan prima, terlepas dari bilangan alami yang dimasukkan, bukan n. 1 ^ 2 + 1 + 41 = 43, bilangan prima; 2 ^ 2 + 2 + 41 = 47, bilangan prima; 3 ^ 3 + 3 + 41 = 53, sekali lagi bilangan prima, ..., 39 ^ 2 + 39 + 41 = 1601. Sebenarnya Anda mulai merasa bahwa skema ini harus diterapkan ke semua bilangan asli; Mengkonfirmasi 39 kali meningkatkan kepercayaan diri hampir pasti. Tetapi Euler, salah satu ahli matematika paling produktif dalam sejarah, menunjukkan pada 1772 bahwa ini umumnya tidak terjadi. 40 ^ 2 + 40 + 41 = 40 (40 + 1) + 41 = 40 * 41 + 41 = 41 (40 + 1) = 41 * 41, bilangan komposit bukan bilangan prima! Demikian pula, 41 ^ 2 + 41 + 41 = 41 (41 + 1 + 1), masih merupakan nomor yang dipanggil. Jadi apa yang kita simpulkan? Kami mencatat bahwa konfirmasi berulang tentang alasan tertentu tidak selalu berarti bahwa alasan tersebut dilaporkan pada semua angka. Seseorang mulai merasakan kebutuhan akan sesuatu yang lain yang seharusnya berfungsi sebagai ujian untuk validitas pernyataan dengan skema numerik.
Persepsi dan generalisasi model untuk semua situasi yang mungkin disebut induksi. Banyak dari apa yang kita sebut pengetahuan tergantung pada proses induksi. Misalnya, bagaimana kita tahu bahwa jika Anda kehilangan sesuatu, itu jatuh ke tanah alih-alih terbang menjauh? Induksi memberikan jawabannya; Kami telah melihatnya ratusan kali sejak kami lahir dan pengamatan berulang ini memberi kami kepercayaan diri bahwa itu akan selalu terjadi ketika seseorang mengendalikan sesuatu. Jangan ragu untuk melewatkan sesuatu dan lihat apa yang terjadi! Api membakar, racun membunuh, pohon memberi kita buah, matahari bersinar untuk memberi kita cahaya dan terbit setiap hari, dll. Ini adalah beberapa hal yang kita yakini karena induksi. Ini tidak hanya berlaku untuk fisika dan kehidupan sehari-hari, tetapi juga untuk model numerik. Kami melakukan beberapa pengamatan, termasuk sebuah pola, dan mulai percaya bahwa apa yang kami amati untuk angka-angka tertentu harus berlaku untuk semua angka yang ada. Ini adalah salah satu alat paling ampuh dari ahli matematika dan bisa dilihat di Jev Edukasi Online. Tapi, ada sesuatu yang lebih kuat yang tidak tersedia dalam pengalaman kita sehari-hari: matematikawan memiliki metode induksi matematika.
Himpunan dengan 3 elemen memiliki 2 ^ 3 = 8 himpunan bagian yang mungkin, himpunan dengan 4 elemen memiliki 2 ^ 4 = 16 himpunan bagian, ..., himpunan dengan elemen n memiliki subbagian 2 ^ n. 2 ^ 3-2 = 6 * 1, 3 ^ 3-3 = 6 * 4, 4 ^ 3-4 = 6 * 10, ..., n ^ 3-n adalah kelipatan dari 6. Mari kita mengambil langkah perantara dan tulis ekspresi akhir dari model mulai sekarang. x ^ 3-7x + 3 adalah kelipatan 3. 7 ^ n-5 ^ n adalah kelipatan 2. a ^ n-b ^ n adalah kelipatan a-b, a dan b adalah bilangan alami yang berbeda. nC1 + nC2 + ... + nCn = 2n. Daftar ini praktis tidak ada habisnya.
Tidak boleh langsung disimpulkan bahwa model yang diyakininya sebenarnya diterapkan pada semua bilangan asli. Ambil contoh klasik dari ekspresi n ^ 2 + n + 41. Bertahun-tahun yang lalu, umumnya diasumsikan bahwa ungkapan ini selalu memberikan bilangan prima, terlepas dari bilangan alami yang dimasukkan, bukan n. 1 ^ 2 + 1 + 41 = 43, bilangan prima; 2 ^ 2 + 2 + 41 = 47, bilangan prima; 3 ^ 3 + 3 + 41 = 53, sekali lagi bilangan prima, ..., 39 ^ 2 + 39 + 41 = 1601. Sebenarnya Anda mulai merasa bahwa skema ini harus diterapkan ke semua bilangan asli; Mengkonfirmasi 39 kali meningkatkan kepercayaan diri hampir pasti. Tetapi Euler, salah satu ahli matematika paling produktif dalam sejarah, menunjukkan pada 1772 bahwa ini umumnya tidak terjadi. 40 ^ 2 + 40 + 41 = 40 (40 + 1) + 41 = 40 * 41 + 41 = 41 (40 + 1) = 41 * 41, bilangan komposit bukan bilangan prima! Demikian pula, 41 ^ 2 + 41 + 41 = 41 (41 + 1 + 1), masih merupakan nomor yang dipanggil. Jadi apa yang kita simpulkan? Kami mencatat bahwa konfirmasi berulang tentang alasan tertentu tidak selalu berarti bahwa alasan tersebut dilaporkan pada semua angka. Seseorang mulai merasakan kebutuhan akan sesuatu yang lain yang seharusnya berfungsi sebagai ujian untuk validitas pernyataan dengan skema numerik.
Persepsi dan generalisasi model untuk semua situasi yang mungkin disebut induksi. Banyak dari apa yang kita sebut pengetahuan tergantung pada proses induksi. Misalnya, bagaimana kita tahu bahwa jika Anda kehilangan sesuatu, itu jatuh ke tanah alih-alih terbang menjauh? Induksi memberikan jawabannya; Kami telah melihatnya ratusan kali sejak kami lahir dan pengamatan berulang ini memberi kami kepercayaan diri bahwa itu akan selalu terjadi ketika seseorang mengendalikan sesuatu. Jangan ragu untuk melewatkan sesuatu dan lihat apa yang terjadi! Api membakar, racun membunuh, pohon memberi kita buah, matahari bersinar untuk memberi kita cahaya dan terbit setiap hari, dll. Ini adalah beberapa hal yang kita yakini karena induksi. Ini tidak hanya berlaku untuk fisika dan kehidupan sehari-hari, tetapi juga untuk model numerik. Kami melakukan beberapa pengamatan, termasuk sebuah pola, dan mulai percaya bahwa apa yang kami amati untuk angka-angka tertentu harus berlaku untuk semua angka yang ada. Ini adalah salah satu alat paling ampuh dari ahli matematika dan bisa dilihat di Jev Edukasi Online. Tapi, ada sesuatu yang lebih kuat yang tidak tersedia dalam pengalaman kita sehari-hari: matematikawan memiliki metode induksi matematika.